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蔡聪明
前言
一、
二、
三、
四、
五、
六、
前言
欧氏几何的创立，是数学史也是人类文明史上破天荒的大事。 古埃及与巴比伦的直观、个案的经验几何知识，传到古希腊，Thales
首先尝试用「逻辑」加以组织。古埃及与巴比伦的直观、个案的经验几何知识，传到古希腊，Thales首先尝试用「逻辑」加以组织。接著是毕氏学派，採用原子论(atomism)
的观点，将几何建立在算术基础上面。接着是毕氏学派，采用原子论(atomism)的观点，将几何建立在算术基础上面。毕氏学派主张：点是几何的「原子」，其长度d
> 0 ，因而任何两线段皆可共度。毕氏学派主张：点是几何的「原子」，其长度d
> 0
，因而任何两线段皆可共度。由此证明了长方形的面积公式、毕氏定理与相似三角形基本定理。由此证明了长方形的面积公式、毕氏定理与相似三角形基本定理。不幸的是，毕氏的门徒Hippasus
发现了不可共度线段，震垮了毕氏学派的几何学。不幸的是，毕氏的门徒Hippasus发现了不可共度线段，震垮了毕氏学派的几何学。后来虽有Eudoxus
的比例论来补救，但欧氏已不走毕氏的旧路，改採公理化的手法，以几何公理来建立几何。后来虽有Eudoxus的比例论来补救，但欧氏已不走毕氏的旧路，改采公理化的手法，以几何公理来建立几何。这一段歷史非常珍贵，不论是在知识论、科学哲学或教育上，都深具啟发性。这一段历史非常珍贵，不论是在知识论、科学哲学或教育上，都深具启发性。
当代著名的科学哲学家拉卡托斯（I. Lakatos,
1922～1974），在《论分析与综合方法》一文中说得好（详见参考资料1）：当代著名的科学哲学家拉卡托斯（I. Lakatos,
1922～1974），在《论分析与综合方法》一文中说得好（详见参考资料1）：
我认为对於希腊几何所能做的最精采工作，是分析欧氏之前的几何(pre-Euclidean geometry)
及其在產生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色。我认为对于希腊几何所能做的最精采工作，是分析欧氏之前的几何(pre-Euclidean
geometry)及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色。 大部分的欧氏几何，在欧氏(Euclid)
给出公理与定义（西元前300年）之前已经存在，正如数论在Peano
给自然数作出公理化（1889年）之前、微积分在实数系建构（1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass
等人的工作）之前、机率论在Kolmogorov
公理化（1933年）之前，都已经存在。大部分的欧氏几何，在欧氏(Euclid)给出公理与定义（西元前300年）之前已经存在，正如数论在Peano给自然数作出公理化（1889年）之前、微积分在实数系建构（
1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass等人的工作）之前、机率论在Kolmogorov公理化（1933年）之前，都已经存在。问题在於为何需要公理化？问题在于为何需要公理化？公理化对於数学的进一步发展有什麼帮助？公理化对于数学的进一步发展有什么帮助？
在数学史上，欧氏几何是第一个公理化的知识系统，由定义与公理出发，推导出一系列的定理。在数学史上，欧氏几何是第一个公理化的知识系统，由定义与公理出发，推导出一系列的定理。我们读欧氏几何都接受这样的推展程序。我们读欧氏几何都接受这样的推展程序。
然而，公理是怎麼得来的呢？然而，公理是怎么得来的呢？
为什麼要选取这样的公理？为什么要选取这样的公理？公理并不是天经地义的。公理并不是天经地义的。 显然，它们都是经过长期的试误(trial
and error) 才演化出来的。显然，它们都是经过长期的试误(trial and
error)才演化出来的。公理有如宪法，都是人们制订出来的，可以挑战，更可以修订或重订。公理有如宪法，都是人们制订出来的，可以挑战，更可以修订或重订。这是欧氏几何產生出非欧几何(non-Euclidean
geometry)，牛顿力学被修正成为相对论与量子力学，导致科学进展的理由。这是欧氏几何产生出非欧几何(non-Euclidean
geometry)，牛顿力学被修正成为相对论与量子力学，导致科学进展的理由。
本文我们尝试对欧氏之前的几何学，作合理的重建工作(rational
reconstruction)，最主要是重建毕氏学派的几何研究纲领(the research program of
geometry)，以及欧氏做出欧氏几何的分析过程。本文我们尝试对欧氏之前的几何学，作合理的重建工作(rational
reconstruction)，最主要是重建毕氏学派的几何研究纲领(the research program of
geometry)，以及欧氏做出欧氏几何的分析过程。毕氏这一工作虽然没有完全成功，但是却可比美於他为了追寻音律而用单弦琴(monochord)
所作的第一个物理实验（见参考资料18），并且也为欧氏几何的诞生铺路。毕氏这一工作虽然没有完全成功，但是却可比美于他为了追寻音律而用单弦琴(monochord)所作的第一个物理实验（见参考资料18），并且也为欧氏几何的诞生铺路。成功是踏著前人的失败走过来的。
一、
经验与逻辑
物理学家爱因斯坦认为，西方文明对人类的两大贡献是：
1. 古希腊哲学家发明的演绎系统，即採用逻辑推理来组织知识的方法：先追寻出基本原理，再论证并推导出各种结论，总结欧氏几何。
2. 文艺復兴时代（十五、六世纪）发展出来的实证传统 (positivistic
tradition)，即透过有目的与有系统的实验观察，以找寻真理与检验真理的态度。
爱因斯坦「直指本心」地点明出：经验与逻辑是西方文明的骨干，它们是建立科学与数学的两块基石，缺一不可。知识在「眼见」（经验）加上「论证」（逻辑）的双重锤炼下，才变成真确可信。这是其他民族所欠缺或没有奠下的基础。
经验与逻辑是科学的两隻眼睛，它们在十七世纪紧密结合起来，透过刻卜勒、伽利略与牛顿等人的伟大工作，终於產生了近代的科学文明。
希腊奇蹟
一般而言，一门学问的发展都是先从累积直观的、实用的、经验的知识开始，储存丰富了之后，才进一步地组织成比较严谨的知识系统。这是因为经验知识难免会有错误、含混、甚至矛盾，所以需要加以整理，去芜存菁。德国哲学家康德（I.
Kant, 1724～1804）说的好：
所有的人类知识起源於直观经验 (intuitions)，再发展出概念 (concepts)，最后止於理念 (ideas)。
最令人惊奇的是，古希腊人将古埃及与巴比伦长期累积下来的经验几何知识，用逻辑锤炼成演绎系统，由一些基本原理（公理）推导出所有的结论（定理）。从「实用」，转变成「论理」之完全「质变」，这就是歷史上所称的「希腊奇蹟」(the
Greek miracle) 之一。
古希腊人将数学提升到可以「证明」并且要讲究「证明」的境界，使得数学变成最严密可靠的知识，而有别於其他学问。这是数学的魅力之一。英国逻辑家罗素（B.
Russell, 1872～1970）说「数学最让我欣喜的是，事物可以被证明。」(What delighted me most
about mathematics was t hat things could be proved.)
古希腊人从编造神话故事来解释世事（神话诗观），进展到亚里斯多德 (Aristotle)
的有机目的观：一切事物都趋向其目的地而运动。在数学中，更进步到欧氏几何的公理化体系，利用直观自明的公理来解释所有观测到的经验几何知识。这是知识的巩固，也是进一步发展的基础。
直观经验几何
几何学起源於测地、航海、天文学，以及日常生活的测积（长度、面积、容积）与舖地板等等。换言之，大自然与生活是几何学乃至是数学的发源地。
几何观念的来源
根据希腊歷史学家希罗多德（Herodotus,
约西元前485～425年）的说法，几何学开始於「测地」。古埃及的尼罗河每年氾滥，湮没田地，因此需要重新测量土地。几何学「Geometry」一词就是由「Geometrein」演变而来的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指测量。测量土地的技术员叫做操绳师
(rope-stretchers)，因为绳子是用来帮忙测量的工具。原子论大师德謨克瑞塔斯（Democritus,
西元前460～370年）曾提到，当时的操绳师具有精湛的测量技术与丰富的几何知识，几乎快要跟他一样好。德謨克瑞塔斯自夸道：「在建构平面图形与证明方面，没有人能超过我，??頇O埃及的操绳师也不例外。」
几何观念的第二个来源是航海与天文学。哲学家康德说：
有两样事物充满著我的心，并且產生永不止息的敬畏。那就是：在头上灿烂的星空，以及心中的道德法则。
人类长久以来对星空的观察，除了敬畏与订历法之外，还从中抽取出点、线、三角形、多边形、圆、方向、角度、距离……等几何概念，以及三角形的测量。更重要的是，从行星井然有序与周而復始的运行中，產生了规律感与美感
(the sense of orders and beauty)，这是科学发展的必要条件。数学家兼哲学家怀海德（Whitehead,
1861～1947）说得好：
活生生的科学是不可能產生的。除非人们具有普遍而本能地深信：事物存在有规律；或特别地，大自然存在有规律。
科学追寻大自然的内在秩序与规律。同理，几何追求几何图形的内在秩序与规律。它们最早都是从天文学得到啟示。天文学是数学的故乡与发源地。毕氏学派将几何学、天文学、算术与音乐并列为四艺，是有远见的（中世纪时，再加上文法、修辞与辩证
(Dialectic)，合称七艺）。
几何学的第三个来源是日常生活的测积。由此引出了长度、面积、容积、体积、表面积、重心等概念，也归结出一些计算公式。
这些直观的、实验的、经验的几何概念与知识，世界上各古老民族都出现过，并不限於古埃及与巴比伦。除了实用之外，更要紧的是，人们从中看出（或发现）了几何图形的一些规律。我们仅择几个重要的介绍，分别於各小段说明。
舖地板只有三种样式
根据普罗克拉斯（Proclus,
410～485）的说法，毕氏学派已经知道，用同样大小且同一种的正多边形舖地板时，只能用正三角形、正方形与正六边形，得到三种图案（见图一～图三）。读者可以用劳作剪纸片或积木游戏加以证实。然而，数学史家阿尔曼
(Allman)
却认为，古埃及人习价用这三种正多边形来舖地板，并且从长期的生活经验中，观察而发现「毕氏定理」与三角形三内角和定理。
图一
图二
图三
如果各种不同的正多边形（边长都相等）可以混合使用，并且要舖成对称的图案，则可得到 13 种样式，这是一个很好的思考论题。
三角形三内角和定理
古埃及人又从舖地板中，发现三角形三内角和为一平角（即180度）。在图一中，绕一顶点的六个角，合起来一共是一周角（即360度），因此正三角形三内角和为一平角。这虽只是特例，但却是进一步发现真理的契机。在图二中，绕一顶点的四个直角，合起来一共是一周角，因此正方形四内角和为一周角」。作正方形的对角线，得到两个相同的等腰直角三角形，从而得知等腰直角三角形三内角和为一平角。将正方形改为长方形，前述论证也成立，因此任何三角形都可以分割成两个直角三角形（作一边的高），所以任意三角形三内角和为一平角。
这个结果美得像物理学的一条守恆定律 (conservation
law)，令人激赏。奇妙的是，它也可以用剪刀劳作看出来：将三角形的三个角剪开来（见图四），再将三个角排在一起，就得到一个平角（见图五），著名的伟大科学家巴斯卡（Pascal,
1623～1662）小时候就是如此这般重新发现这个定理。
图四
图五
图六
我们也可以利用摺纸的实验，发现这个定理（见图六）。即沿著 DE、DG、EF
把三角形摺成长方形 DEFG，那麼叠合於 A'
点，成为一平角。
利用旋转铅笔的实验，也可看出这个定理（见图七）。
图七
毕氏定理
这是关於直角三角形三边规律的定理：对於「任意」的直角三角形都有 c2 = a2
b2（见图八）。
图八
古埃及人仍然是从舖地板中看出其端倪。在图九中，直角三角形 ABC 斜边
AB 上的正方形面积，等於两股上正方形面积之和。这是毕氏定理的一个特例。
图九
我们可以利用几何板
(geoboard)，玩出更多毕氏定理的特例。图十与图十一就是两个例子。
图十
图十一
另一方面，巴比伦人与中国人都观察到一个木匠法则。即木匠在决定垂直、直角及边长时，发现边长为 3, 4, 5 的三角形，三边具有 32
42 = 52 的关係并且为直角三角形（毕氏逆定理之特例）。
这些线索好像是矿苗，人们很快就发现了毕氏定理之「金矿」。这只需用剪刀劳作（够直观经验吧！）就可以看出来。在图十二中，以边长 a b
作两个正方形；左图剪掉四个直角三角形，剩下两个小正方形，面积之和为 a2
b2；右图从四个角剪掉四个直角三角形，剩下一个小正方形之面积为 c2；等量减去等量，其差相等。因此 a2 b2 =
c2。
图十二
相似三角形基本定理
如果两个三角形的三内角分别对应相等，则对应边成比例。亦即，在图十三中，若，，，则
这个结果是直观显明的。因为两个三角形三内角分别对应相等，表示它们之间有一个是另一个的放大或缩小，所以它们的大小不同但是形状相同，叫做相似。从而对应边成比例，比值就是放大率或缩小率。我们注意到：三角形在作放大或缩小时，只有角度是不变的。
根据歷史记载，泰利斯（Thales,
西元前640？～546）当年游学古埃及时，就曾利用这个定理推算出金字塔的高度。另外，他也推算出海面上的船隻到岸边的距离。
柏拉图五种正多面体
正多边形有无穷多种，但是正多面体不多也不少恰好有五种。这是很美妙的结果。小孩子玩「积木片」（例如市面上流行的百力智慧片）的拼凑游戏就可以做出来，是真正可以看得见、摸得到的。在图十四中，总共有正四面体
(tetrahedron)，正六面体 (cube)、正八面体 (octahedron)、正十二面体 (dodecahedron)
以及正二十面体 (icosahedron)。
根据数学史家奚斯（Heath, 1861～1940）的看法，毕氏学派可能已知这五种正多面体。数学家魏尔（H. Weyl,
1885～1955）认为正多面体的发现，在数学史上是独一无二的精品，是最令人惊奇的事物之一。柏拉图拿它们来建构他的宇宙论，从正四面体到正二十面体分别代表火
(fire)、土 (earth)、气 (air)、宇宙 (universe) 与水 (water)。
图十三
图十四
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